【数学】绝对值函数的可微性（二）函数值域是什么
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今天是高考第一天，今天下午一群可爱的少年们要被绝对值函数折磨了~（怎么知道高考数学会出现绝对值这个题目？答：盲猜的。）
好了，我们继续昨天的话题吧。昨天只是开始，今天的内容才是重点。当然，这两天的小结论加在一起确实不少，可能记起来有些不方便，但是这个东西确实很实用。基本上以后遇到绝对值函数的小题时，这些小结论就会发挥它的威力了。
今天我们讨论一类函数f(x)=|φ(x)|g(x)。绝对值函数更现实的情况是，它的一部分有绝对值，而不是像昨天一样全部有绝对值。因此，今天讨论的函数更为重要。
那么关于这种类型的函数我们需要记住哪些小结论呢？
（1）假设 g(x) 在 x = a 处连续。则 f(x) = |xa|g(x) 在 x = a 处可微的必要充分条件是 g(a) = 0。如果 f(x) 在 x = a 处可微，则 f'(a) = 0。
（2）当k为正整数时，f(x)=(xa)k|xa|在x=a处可微到k阶，但不可微到k+1阶；
（3）在f(x)=|φ(x)|g(x)中，g(x)与φ(x)分解为线性因子的乘积，φ(x)与g(x)的相同因子的零点均为函数f(x)=|φ(x)|g(x)的可微点，φ(x)有而g(x)没有的线性因子的零点均为f(x)的不可微点。
我把这三个定理命名为“营救定理”。简单解释一下，先把绝对值部分看作一个被困在笼子里的友军士兵（|φ(x)|）。那么怎么才能把它营救出来（让它在零点可微）？有两种方法：如果外面的人和里面的人长相不一样，那么让外面的绝对值在这一点为零，这样绝对值就消失了，友军士兵就可以被救出来；如果长相一样（|φ(x)|φ(x)），那么营救就立刻成功。用这个类比来看这三个定理，你会发现它们非常好记：（1）我要营救|xa|，怎么办？φ(a)=0；（2）我要营救|xa|，外面的部分和里面的部分一样，那么营救一次就成功，而且对于括号外的每一个xana数，我都可以营救几次。 当到k+1时，人数不够，救援失败（k阶可微，k+1阶不可微）；（3）分解后，如果存在|φ(x)|φ(x)结构，则可全部救援成功，如果不存在，只有孤独的|φ(x)|结构，则救援失败，该类φ(x)的零点不可微。
来来来，有点糊涂了，看一道题提提神，昨天的思考题：
救援定理来了。首先分析包含绝对值的部分，|sinx|。我们刚刚说了，这个孤立结构在它的零点0处不可微，所以显然|sinx|+1也是不可微的（你要让整个+1 buff都可微，哪有这么简单）。OK，我现在要救援。怎么办？绝对值只能在外面为零，所以立刻推导出f(0)=0。所以选A。怎么样？现在你不迷茫了。
让我们看看一些更令人惊奇的事情：
函数 f(x)=(x2-x-2)|x3-x| 的不可微点数为
这道题原本是一道选择题，但现在我把它改成了填空题，因为利用救援定理，这种题型可以立即做出判断，而不需要给出选项。
首先，分解这两个部分：
首先，被困在笼子里的函数有三个零点：0，1，-1，而这三个点是疑似不可微点（不可微点只能是绝对值内函数的零点，想想|x|的图像就知道了）。根据救人定理，只有x+1才能被救出来，所以有两个不可微点，一个是0，一个是1。怎么样，神奇吧~
今天的问题：（摘自第 36 讲）
设函数 f(x)=|x3-1|φ(x)，其中 φ(x) 在 x=1 处连续，则 φ(1)=0 表示 f(x) 在 x=1 处可微
A.必要充分条件 B.非充分非必要条件
C.必要条件但不充分条件D.既不充分也不必要条件
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明天见。
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