45度加正方形角度应用——八年级数学学习指南

一、每日一题

（2019春大连期末）数学课上老师将教材67页第1（3）题又进行了改编.

如图，点E是正方形ABCD外一点，AE=AB，连接BE，DE.∠DAE的平分线交BE于点F，连接C F. 求证：CF//DE.

某学习小组的同学经过思考，交流了自己的想法：

小明：“要证CF//DE，得先证∠BFC=∠BED，期中考试已经证过∠BED=45°.”

小强：“通过观察和度量，发现∠AFB与∠BED相等”

小伟：“通过观察和度量，发现∠BFC与∠AFB相等"；

小杰：“通过构造三角形，证明三角形全等，可证∠BFC=45°，进而证CF//DE"；老师：“还可以得到线段AF，BF、CF之间的数量关系”.请回答；

（1）求证：∠AFB=45°；

（2）求证：∠BFC=45°；

（3）用等式表示线段AF、BF、CF的数量关系，并证明.

二、思维起点

1、将边等关系通过“等边对等角”转化为角的关系，进而设参导角.2、遇45°构造等腰直角三角形；3、正方形：①每一个顶点都是一个90°旋转的旋转中心，去构造全等→手拉手；②过正方形顶点的一条直线可构造→内/外弦图.4、将分散的三边转化到同一个等腰直角三角形中，寻求三者之间的关系.

三、一题多解

01第一问

将边等关系通过“等边对等角”转化为角的关系，进而设参导角.

02第二问1、遇45°构造等腰直角三角形；2、正方形：①每一个顶点都是一个90°旋转的旋转中心，去构造全等→手拉手；②过正方形顶点的一条直线可构造→内/外弦图.

①45°+BF（直角边）构等腰直

②共顶点B两等腰直→手拉手全等

①45°+AF（直角边）构等腰直

②共顶点A两等腰直→手拉手全等

①45°+AF（斜边）构等腰直

②过正方形顶点的一条直线BE可构造→内弦图

①45°+BF（斜边）构等腰直

②过正方形顶点的一条直线BG可构造→外弦图

多法归一利用45°角构造等腰直角三角形.

03第三问将分散的三边转化到同一个等腰直角三角形中，寻求三者之间的关系.

多法归一将分散条件聚集在同一个等腰直接三角形中，利用直角边：斜边比解决问题.

学生作法

方法一：①45°+BF（直角边）构等腰直②共顶点B两等腰直→手拉手全等

方法二：①45°+AF（斜边）构等腰直②过正方形顶点的一条直线BE可构造→内弦图

第（2）（3）问用两种方法

四、题目延伸

原题：如图，点E是正方形ABCD外一点，AE=AB，连接BE，DE.∠DAE的平分线交BE于点F，连接C F. 求证：CF//DE.

延伸变式：将点E绕点B旋转，其余条件不变，在旋转过程中，结论是否始终成立？

以方法一和方法三为例，观察点E在旋转变换的过程中，CF始终与DE平行。

五、解后反思

end